1959 yılında Afyon’un Bolvadin ilçesinde doğdu. İlköğrenimini bu ilçenin Akçeşme İlköğretim okulunda tamamladı. Bolvadin İmam-Hatip Lisesini bitirdikten sonra Ankara Üniversitesi İlahiyat Fakültesine devam etti. 1984 yılında bu fakülteden başarıyla mezun oldu. Devlet Lisan Okulunda Arapça eğitimi alarak 1985 yılında eğitimini tamamladı. 1977 yılında Diyanet İşleri Başkanlığında memur olarak göreve başladı ve sırasıyla; musahhih, şef, APK uzmanı ve vaizlik görevlerinde bulundu. 1988-1994 yılları arasında Hollanda’da T.C. Lahey Büyükelçiliği nezdinde din görevlisi olarak hizmetini sürdürdü ve bu dönemde Hollanda Diyanet Vakfı Yönetim Kurulu Muhasip Üyeliğine seçildi. Hollanda’da görev yaptığı süreçte bölgede yaşayan Türk diasporasının sosyal ve manevi gelişimine katkı sağlayacak çalışmalar yapan Akçeşme aynı zamanda ülkede pek çok şehirde vakfın şubelerini çoğaltma çabası gösterdi. Birçok caminin inşası ve ihyasına katkı sağladı. Bölgede bazı kiliselerin de camiye dönüştürülmesi projelerinde aktif rol oynadı. 1994 yılında Türkiye’ye dönen Akçeşme 2001 yıllına kadar İSAM (Türkiye Diyanet Vakfı İslam Araştırmaları Merkezi) Genel Sekreterliği görevinde bulundu. Bu merkezde araştırmacı yetiştirme projesine önemli katkı sağladı. Kültür ve medeniyetimizin en önemli eserleri arasında yer alan İslam Ansiklopedisinin hazırlanması, yazılması ve neşredilmesine idareci olarak katkı sundu. Türkiye’nin alanında en donanımlı kütüphanesi olan ve halen önemli araştırmalara ev sahipliği yapan İSAM Kütüphanesinin kuruluşunda da görev aldı. Daha sonra 2001-2009 yılları arasında IRCICA (Research Centre for Islamic History, Art and Culture–İslam Tarih Sanat ve Kültür Araştırma Merkezi)’da Personel ve İdari İşler Bölüm Başkanlığı yaptı. Yurt içinde ve yurt dışında pek çok konferans, panel, kongre ve sempozyumun tertip komitesi üyeliğinde bulunan Akçeşme, birçok eserin de yayın koordinatörlüğünü yaptı. 2005-2009 yılları arasında İstanbul-Beşiktaş Müftülüğünde vaiz olarak görev ifa etti. 11 Haziran 2009 tarihinde Türkiye Diyanet Vakfı Genel Müdürlüğüne atandı ve bu görevi 3 yıl süreyle devam ettirdi. Vakfın yurtdışı faaliyetlerinin ivme kazanması için çaba sarf eden ve bu konuda büyük başarı elde eden Akçeşme özellikle Somali’den Haiti’ye uzanan yardım çalışmalarının kurgulanmasında ve icrasında önemli görevler alarak bu bölgelere yönelik dış politikamıza katkılar sağladı. Ağustos 2012’de Yükseköğretim Kurulu (YÖK) Genel Sekreterliği’ne atandı ve halen bu görevi sürdürmektedir. Süleyman Necati Akçeşme ayrıca İSAR (Foundation for Research on Islamic History, Art and Culture- İslam Tarih, Sanat ve Kültür Araştırmaları Vakfı) Yönetim Kurulu Üyesi, TDV (Türkiye Diyanet Vakfı) Genel Kurul Üyesi, BDV (Belçika Diyanet Vakfı) Genel Kurul Üyesi ve HDV (Hollanda Diyanet Vakfı) Genel Kurul ve Denetleme Kurulu Üyesi olarak meccanen görev yapmaktadır. Süleyman Necati Akçeşme evli ve dört çocuk, yedi torun sahibidir.
